1、我们知道,对于二次函数y=a(x+m)2+k的图象,可由函数y=ax2的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到,我们称函数y=ax2为“基本函数”,而称由它平移得到的二次函数y=a(x+m)2+k为“基本函数”y=ax2的“朋友函数”.左右、上下平移的路径称为朋友路径,对应点之间的线段距离
m2+k2
称为朋友距离.
由此,我们所学的函数:二次函数y=ax2,函数y=kx和反比例函数y=
k
x
都可以作为“基本函数”,并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”.
如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数,由y=2x-5=2(x-1)-3朋友路径可以是向右平移1个单位,再向下平移3个单位,朋友距离=
12+32
=
10

(1)探究一:小明同学经过思考后,为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向
,再向下平移7单位,相应的朋友距离为

(2)探究二:已知函数y=x2-6x+5,求它的基本函数,朋友路径,和相应的朋友距离.
(3)探究三:为函数y=
3x+4
x+1
和它的基本函数y=
1
x
,找到朋友路径,并求相应的朋友距离.
2、(2012•广州)如图,抛物线y=-
3
8
x2-
3
4
x+3
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
悦考网 (1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
3、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3)、B(4,3)、C(1,0)、
(1)填空:抛物线的对称轴为直线x=
,抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为

(2)求该抛物线的解析式.
4、如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE、DF、EF.在此运动变化过程中,有下列五个结论:
①△DFE是等腰直角三角形;  ②四边形CDFE不可能为正方形;
③DE长度的最小值为4;     ④四边形CDFE的面积保持不变;
⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确结论是

悦考网
5、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a<
1
2
;④b>1.其中正确的结论是(  )
悦考网
  • A 、①②
  • B 、②③
  • C 、③④
  • D 、②④
6、如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,点E为BC边上的动点(点E与点B、C不重合),设BE=x.
操作:在射线BC上取一点F,使得EF=BE,以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG,设△EFG与矩悦考网形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)求S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)S是否有最大值?若存在,请直接写出最大值,若不存在,请说明理由.
7、已知二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表
-1  1  2
 y  10  5  2  1
(1)求该二次函数的解析式;
(2)函数值y随x的增大而增大时,x的取值范围是
8、附加题:
(1)如图,AB、CD是⊙O的两条弦,它们相交于点P,连接AD、BD,已知AD=BD=4,PC=6,那么CD的长是

悦考网
(2)阅读材料:如图,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ah$,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
悦考网
解答下列问题:
如图,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
①求抛物线和直线AB的解析式;
②点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB
③点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PAB=$\frac{9}{8}$S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
悦考网
9、(2009•江津区)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.
悦考网
10、(2007•枣庄)小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-
1
5
x2+3.5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是(  )
  • A 、3.5m
  • B 、4m
  • C 、4.5m
  • D 、4.6m

■二次函数的定义

    1、定义:一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x 的二次函数。

    2、二次函数的解析式有三种形式:

    (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0);

    (2)顶点式:y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0)

    (3)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时,即对应二次好方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c=a(x+x1)(x-x2),二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。如果没有交点,则不能这样表示。